Paper IX visual guide / A full period visits every allowed residue

For each address the exact interpolation image is

\[ E^{(4,j)}(\mathbb Z_2)=j!+2^{B_j}\mathbb Z_2. \]

When \(r>B_j\), a least period lists every residue in this coset modulo \(2^r\) exactly once. The following figure checks this assertion by exact arithmetic at precision \(256\).

Permalink · Source line 358

Four exact residue permutations modulo 256 — Original figure from the retained vector PDF.

Reading the figure

The four panels have periods 128, 128, 8 and 32. The horizontal coordinate is row index over one full period. The vertical coordinate subtracts the address factorial and divides by the known power-of-two scale before reducing to the period. Every allowed scaled residue occurs once. The tables retain every plotted row, Euler residue and scaled residue.

Address 0: recorded residues modulo 256
Row	Euler residue	Scaled residue
0	1	0
1	255	127
2	69	34
3	131	65
4	233	116
5	39	19
6	109	54
7	107	53
8	81	40
9	207	103
10	21	10
11	211	105
12	57	28
13	247	123
14	61	30
15	187	93
16	161	80
17	159	79
18	229	114
19	35	17
20	137	68
21	199	99
22	13	6
23	11	5
24	241	120
25	111	55
26	181	90
27	115	57
28	217	108
29	151	75
30	221	110
31	91	45
32	65	32
33	63	31
34	133	66
35	195	97
36	41	20
37	103	51
38	173	86
39	171	85
40	145	72
41	15	7
42	85	42
43	19	9
44	121	60
45	55	27
46	125	62
47	251	125
48	225	112
49	223	111
50	37	18
51	99	49
52	201	100
53	7	3
54	77	38
55	75	37
56	49	24
57	175	87
58	245	122
59	179	89
60	25	12
61	215	107
62	29	14
63	155	77
64	129	64
65	127	63
66	197	98
67	3	1
68	105	52
69	167	83
70	237	118
71	235	117
72	209	104
73	79	39
74	149	74
75	83	41
76	185	92
77	119	59
78	189	94
79	59	29
80	33	16
81	31	15
82	101	50
83	163	81
84	9	4
85	71	35
86	141	70
87	139	69
88	113	56
89	239	119
90	53	26
91	243	121
92	89	44
93	23	11
94	93	46
95	219	109
96	193	96
97	191	95
98	5	2
99	67	33
100	169	84
101	231	115
102	45	22
103	43	21
104	17	8
105	143	71
106	213	106
107	147	73
108	249	124
109	183	91
110	253	126
111	123	61
112	97	48
113	95	47
114	165	82
115	227	113
116	73	36
117	135	67
118	205	102
119	203	101
120	177	88
121	47	23
122	117	58
123	51	25
124	153	76
125	87	43
126	157	78
127	27	13

Address 1: recorded residues modulo 256
Row	Euler residue	Scaled residue
0	1	0
1	51	25
2	253	126
3	111	55
4	25	12
5	11	5
6	213	106
7	135	67
8	177	88
9	99	49
10	45	22
11	31	15
12	201	100
13	59	29
14	5	2
15	55	27
16	97	48
17	147	73
18	93	46
19	207	103
20	121	60
21	107	53
22	53	26
23	231	115
24	17	8
25	195	97
26	141	70
27	127	63
28	41	20
29	155	77
30	101	50
31	151	75
32	193	96
33	243	121
34	189	94
35	47	23
36	217	108
37	203	101
38	149	74
39	71	35
40	113	56
41	35	17
42	237	118
43	223	111
44	137	68
45	251	125
46	197	98
47	247	123
48	33	16
49	83	41
50	29	14
51	143	71
52	57	28
53	43	21
54	245	122
55	167	83
56	209	104
57	131	65
58	77	38
59	63	31
60	233	116
61	91	45
62	37	18
63	87	43
64	129	64
65	179	89
66	125	62
67	239	119
68	153	76
69	139	69
70	85	42
71	7	3
72	49	24
73	227	113
74	173	86
75	159	79
76	73	36
77	187	93
78	133	66
79	183	91
80	225	112
81	19	9
82	221	110
83	79	39
84	249	124
85	235	117
86	181	90
87	103	51
88	145	72
89	67	33
90	13	6
91	255	127
92	169	84
93	27	13
94	229	114
95	23	11
96	65	32
97	115	57
98	61	30
99	175	87
100	89	44
101	75	37
102	21	10
103	199	99
104	241	120
105	163	81
106	109	54
107	95	47
108	9	4
109	123	61
110	69	34
111	119	59
112	161	80
113	211	105
114	157	78
115	15	7
116	185	92
117	171	85
118	117	58
119	39	19
120	81	40
121	3	1
122	205	102
123	191	95
124	105	52
125	219	109
126	165	82
127	215	107

Address 2: recorded residues modulo 256
Row	Euler residue	Scaled residue
0	2	0
1	34	1
2	194	6
3	226	7
4	130	4
5	162	5
6	66	2
7	98	3

Address 3: recorded residues modulo 256
Row	Euler residue	Scaled residue
0	6	0
1	190	23
2	118	14
3	46	5
4	230	28
5	158	19
6	86	10
7	14	1
8	198	24
9	126	15
10	54	6
11	238	29
12	166	20
13	94	11
14	22	2
15	206	25
16	134	16
17	62	7
18	246	30
19	174	21
20	102	12
21	30	3
22	214	26
23	142	17
24	70	8
25	254	31
26	182	22
27	110	13
28	38	4
29	222	27
30	150	18
31	78	9

Selectable labels from the original PDF

Native PDF text retains the figure’s extraction order. Equations and data tables above provide the reading order.

0 64 127
row n
0
64
127
scaled residue
j = 0: 128 rows, 128 permitted residues
0 64 127
row n
0
64
127
scaled residue
j = 1: 128 rows, 128 permitted residues
0 1 2 3 4 5 6 7
row n
0
1
2
3
4
5
6
7
scaled residue
j = 2: 8 rows, 8 permitted residues
0 16 31
row n
0
16
31
scaled residue
j = 3: 32 rows, 32 permitted residues

Original vector figure PDF · Full-size image

Permalink · Source line 368

Original figure caption

Exact residue permutations modulo \(256\). The vertical coordinate is \(y_n=(E_{4n}^{(4,j)}-j!)/2^{B_j}\) modulo \(P_j(8)\). Each panel contains one full least period; every vertical residue occurs once.

Permalink · Source line 369

No decimal approximation is used to form these residues. The generating series is inverted modulo \(2^{256}\) using odd denominators, then the exact result is reduced modulo \(256\). An independent rational inversion checks the initial coefficients.

The shapes are permutations, not monotone real functions. Their organizing property is dyadic distance: agreement in input low bits forces the same agreement in the scaled output low bits.

Permalink · Source line 374

Row	Euler residue	Scaled residue
0	1	0
1	255	127
2	69	34
3	131	65
4	233	116
5	39	19
6	109	54
7	107	53
8	81	40
9	207	103
10	21	10
11	211	105
12	57	28
13	247	123
14	61	30
15	187	93
16	161	80
17	159	79
18	229	114
19	35	17
20	137	68
21	199	99
22	13	6
23	11	5
24	241	120
25	111	55
26	181	90
27	115	57
28	217	108
29	151	75
30	221	110
31	91	45
32	65	32
33	63	31
34	133	66
35	195	97
36	41	20
37	103	51
38	173	86
39	171	85
40	145	72
41	15	7
42	85	42
43	19	9
44	121	60
45	55	27
46	125	62
47	251	125
48	225	112
49	223	111
50	37	18
51	99	49
52	201	100
53	7	3
54	77	38
55	75	37
56	49	24
57	175	87
58	245	122
59	179	89
60	25	12
61	215	107
62	29	14
63	155	77
64	129	64
65	127	63
66	197	98
67	3	1
68	105	52
69	167	83
70	237	118
71	235	117
72	209	104
73	79	39
74	149	74
75	83	41
76	185	92
77	119	59
78	189	94
79	59	29
80	33	16
81	31	15
82	101	50
83	163	81
84	9	4
85	71	35
86	141	70
87	139	69
88	113	56
89	239	119
90	53	26
91	243	121
92	89	44
93	23	11
94	93	46
95	219	109
96	193	96
97	191	95
98	5	2
99	67	33
100	169	84
101	231	115
102	45	22
103	43	21
104	17	8
105	143	71
106	213	106
107	147	73
108	249	124
109	183	91
110	253	126
111	123	61
112	97	48
113	95	47
114	165	82
115	227	113
116	73	36
117	135	67
118	205	102
119	203	101
120	177	88
121	47	23
122	117	58
123	51	25
124	153	76
125	87	43
126	157	78
127	27	13

Row	Euler residue	Scaled residue
0	1	0
1	51	25
2	253	126
3	111	55
4	25	12
5	11	5
6	213	106
7	135	67
8	177	88
9	99	49
10	45	22
11	31	15
12	201	100
13	59	29
14	5	2
15	55	27
16	97	48
17	147	73
18	93	46
19	207	103
20	121	60
21	107	53
22	53	26
23	231	115
24	17	8
25	195	97
26	141	70
27	127	63
28	41	20
29	155	77
30	101	50
31	151	75
32	193	96
33	243	121
34	189	94
35	47	23
36	217	108
37	203	101
38	149	74
39	71	35
40	113	56
41	35	17
42	237	118
43	223	111
44	137	68
45	251	125
46	197	98
47	247	123
48	33	16
49	83	41
50	29	14
51	143	71
52	57	28
53	43	21
54	245	122
55	167	83
56	209	104
57	131	65
58	77	38
59	63	31
60	233	116
61	91	45
62	37	18
63	87	43
64	129	64
65	179	89
66	125	62
67	239	119
68	153	76
69	139	69
70	85	42
71	7	3
72	49	24
73	227	113
74	173	86
75	159	79
76	73	36
77	187	93
78	133	66
79	183	91
80	225	112
81	19	9
82	221	110
83	79	39
84	249	124
85	235	117
86	181	90
87	103	51
88	145	72
89	67	33
90	13	6
91	255	127
92	169	84
93	27	13
94	229	114
95	23	11
96	65	32
97	115	57
98	61	30
99	175	87
100	89	44
101	75	37
102	21	10
103	199	99
104	241	120
105	163	81
106	109	54
107	95	47
108	9	4
109	123	61
110	69	34
111	119	59
112	161	80
113	211	105
114	157	78
115	15	7
116	185	92
117	171	85
118	117	58
119	39	19
120	81	40
121	3	1
122	205	102
123	191	95
124	105	52
125	219	109
126	165	82
127	215	107

Row	Euler residue	Scaled residue
0	6	0
1	190	23
2	118	14
3	46	5
4	230	28
5	158	19
6	86	10
7	14	1
8	198	24
9	126	15
10	54	6
11	238	29
12	166	20
13	94	11
14	22	2
15	206	25
16	134	16
17	62	7
18	246	30
19	174	21
20	102	12
21	30	3
22	214	26
23	142	17
24	70	8
25	254	31
26	182	22
27	110	13
28	38	4
29	222	27
30	150	18
31	78	9

Row	Euler residue	Scaled residue
0	1	0
1	255	127
2	69	34
3	131	65
4	233	116
5	39	19
6	109	54
7	107	53
8	81	40
9	207	103
10	21	10
11	211	105
12	57	28
13	247	123
14	61	30
15	187	93
16	161	80
17	159	79
18	229	114
19	35	17
20	137	68
21	199	99
22	13	6
23	11	5
24	241	120
25	111	55
26	181	90
27	115	57
28	217	108
29	151	75
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32	65	32
33	63	31
34	133	66
35	195	97
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37	103	51
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